Тренажёр формул сокращённого умножения онлайн

Формулы сокращённого умножения позволяют быстро раскрывать скобки, раскладывать многочлены на множители, упрощать вычисления и решать уравнения. Онлайн-тренажёр содержит задания на квадраты и кубы суммы и разности, разность квадратов, сумму и разность кубов.

Тема относится к разделу алгебры, подразделу «многочлены и тождественные преобразования выражений».

Что такое формулы сокращённого умножения

Это тождества, которые заменяют часто встречающиеся действия с многочленами более короткой готовой записью. Они верны при любых допустимых значениях переменных.

Формулы работают в двух направлениях:

• для раскрытия скобок и получения многочлена;
• для разложения многочлена на множители.

Квадрат суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Квадрат суммы равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.

Пример: (x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 25 = x² + 10x + 25.

Распространённая ошибка — записывать только a² + b². В квадрате суммы обязательно присутствует средний член 2ab.

Квадрат разности

(a − b)² = a² − 2ab + b².

Пример: (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9.

Последний член положительный, потому что квадрат отрицательного числа положителен. Минус остаётся только перед удвоенным произведением.

Разность квадратов

a² − b² = (a − b)(a + b).

Пример: 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5).

Формула применима именно к разности двух квадратов. Для суммы квадратов a² + b² аналогичного разложения на действительные линейные множители нет.

Куб суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Пример: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8.

Коэффициенты 1, 3, 3, 1 совпадают с соответствующей строкой треугольника Паскаля.

Куб разности

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.

Пример: (x − 3)³ = x³ − 9x² + 27x − 27.

Знаки в разложении чередуются: плюс, минус, плюс, минус.

Сумма кубов

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

Пример: x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4).

В первой скобке сохраняется знак исходного выражения, а знак среднего члена во второй скобке становится противоположным.

Разность кубов

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Пример: x³ − 27 = x³ − 3³ = (x − 3)(x² + 3x + 9).

Таблица формул

• (a + b)² = a² + 2ab + b²;
• (a − b)² = a² − 2ab + b²;
• a² − b² = (a − b)(a + b);
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;
• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³;
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²);
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Как выбрать нужную формулу

1. Определите количество членов и действия между ними.
2. Проверьте, являются ли крайние члены квадратами или кубами.
3. Если выражение записано со скобками и степенью, раскрывайте формулу.
4. Если дан многочлен без скобок, ищите возможность разложения.
5. Проверьте средний член и его коэффициент.
6. После преобразования выполните обратную проверку.

Как распознать полный квадрат

Трёхчлен является квадратом суммы или разности, если первый и последний члены — полные квадраты, а средний равен удвоенному произведению их корней.

Пример: x² + 12x + 36. Крайние члены равны x² и 6², а 12x = 2 × x × 6. Следовательно, x² + 12x + 36 = (x + 6)².

Как применять разность квадратов несколько раз

После первого разложения один из множителей тоже может оказаться разностью квадратов:

x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).

Формулы в устных вычислениях

Тождества помогают быстро считать без калькулятора.

Пример: 49² = (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.

Пример: 103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991.

Проверка результата

Разложение на множители можно проверить обратным раскрытием скобок. Также можно подставить несколько значений переменной в исходное и полученное выражения. Их значения должны совпадать.

Как пользоваться тренажёром

1. Выберите уровень сложности и количество заданий.
2. Отметьте нужные формулы.
3. В заданиях «Раскройте скобки» запишите многочлен.
4. В заданиях «Разложите на множители» обязательно запишите произведение скобок.
5. Используйте записи x² или x^2, x³ или x^3.
6. После проверки изучите объяснение и повторите ошибки.

Тренажёр сравнивает математические значения выражений, поэтому порядок слагаемых не влияет на результат проверки.

Уровни сложности

• Лёгкий: выражения вида x ± a с небольшими числами.
• Средний: увеличенные числа и коэффициенты перед x.
• Сложный: крупные коэффициенты, квадраты и кубы сложных одночленов.

Типичные ошибки

• Пропуск среднего члена 2ab в квадрате суммы или разности.
• Отрицательный последний член в квадрате разности.
• Попытка разложить сумму квадратов как разность квадратов.
• Неверные коэффициенты 3 в формулах куба.
• Путаница знаков в формулах суммы и разности кубов.
• Неполное возведение коэффициента или переменной в степень.

Примеры с решениями

Пример 1

(3x + 2)² = 9x² + 12x + 4.

Пример 2

16x² − 49 = (4x − 7)(4x + 7).

Пример 3

(2x − 1)³ = 8x³ − 12x² + 6x − 1.

Пример 4

x³ + 125 = (x + 5)(x² − 5x + 25).

Часто задаваемые вопросы

Сколько основных формул сокращённого умножения?

В школьном курсе обычно выделяют семь базовых формул: квадраты и кубы суммы и разности, разность квадратов, сумму и разность кубов.

Можно ли применять формулы в обратную сторону?

Да. Именно так многочлены раскладывают на множители.

Чему равен квадрат суммы?

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Как запомнить сумму и разность кубов?

В первой скобке сохраняется исходный знак, а во второй средний знак противоположен ему; последний член всегда положителен.

Почему a² + b² нельзя разложить как разность квадратов?

Формула использует произведение сопряжённых выражений и применима только к разности a² − b².

К какому разделу относятся эти формулы?

Они относятся к алгебре, многочленам и тождественным преобразованиям выражений.

По теме: тренажёр разложения на множители, разложение трёхчлена на множители, упрощение математических выражений, тренажёр раскрытия скобок.