Разложение трёхчлена на множители: формулы, способы и онлайн-калькулятор

Разложение квадратного трёхчлена на множители — это преобразование выражения вида ax² + bx + c в произведение более простых выражений. Такое представление помогает решать квадратные уравнения, сокращать алгебраические дроби, исследовать функции, находить нули параболы и упрощать вычисления.

Калькулятор выше выполняет разложение автоматически и показывает подробное решение: записывает исходный трёхчлен, вычисляет дискриминант, находит корни и составляет произведение линейных множителей. Поддерживаются целые и десятичные коэффициенты, отрицательные числа, полный квадрат, иррациональные и комплексные корни.

Что такое квадратный трёхчлен?

Квадратным трёхчленом называют многочлен второй степени:

ax² + bx + c, где a ≠ 0.

• a — старший коэффициент при x²;
• b — коэффициент при x;
• c — свободный член;
• x — переменная.

Например, в трёхчлене 2x² − 7x + 3 коэффициенты равны: a = 2, b = −7, c = 3. Знак перед числом является частью коэффициента, поэтому при вводе данных нельзя терять минус.

Что означает «разложить на множители»?

Разложить выражение на множители — значит представить его в форме произведения. Например:

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Равенство легко проверить раскрытием скобок:

(x − 2)(x − 3) = x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6.

Для квадратного трёхчлена общая формула разложения через корни имеет вид:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Здесь x₁ и x₂ — корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Старший коэффициент a нельзя отбрасывать: если он не равен единице, он остается перед скобками.

Как разложить квадратный трёхчлен через дискриминант?

Это универсальный способ, который применим к любому квадратному трёхчлену. Решение состоит из четырех этапов.

Шаг 1. Определить коэффициенты

Сравните выражение со стандартным видом ax² + bx + c. Если какого-либо слагаемого нет, соответствующий коэффициент равен нулю. Например:

• x² − 9: a = 1, b = 0, c = −9;
• 3x² + 6x: a = 3, b = 6, c = 0;
• −x² + 4x − 4: a = −1, b = 4, c = −4.

Шаг 2. Вычислить дискриминант

Дискриминант вычисляется по формуле:

D = b² − 4ac

От знака дискриминанта зависит количество действительных корней и вид разложения.

Шаг 3. Найти корни

Если D ≥ 0, корни находятся по формуле:

x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)

Шаг 4. Записать произведение

Полученные корни подставляют в формулу:

a(x − x₁)(x − x₂)

Если корень отрицательный, внутри скобки появляется плюс: например, при x₁ = −4 множитель x − (−4) записывается как x + 4.

Как дискриминант влияет на разложение?

Если D > 0: два различных корня

Трёхчлен имеет два различных действительных корня и раскладывается на два разных линейных множителя:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Если D = 0: один двукратный корень

Оба корня совпадают: x₁ = x₂ = −b/(2a). Разложение принимает вид полного квадрата:

ax² + bx + c = a(x − x₀)².

Если D < 0: действительных корней нет

Над множеством действительных чисел ℝ трёхчлен нельзя представить в виде произведения линейных множителей с действительными коэффициентами. Однако над комплексными числами ℂ разложение существует. Комплексные корни вычисляются так:

x₁,₂ = (−b ± i√(−D)) / (2a), где i² = −1.

Подробные примеры разложения

Пример 1. Два целых корня

Разложим x² − 5x + 6.

1. Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.
2. D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
3. x₁ = (5 + 1)/2 = 3, x₂ = (5 − 1)/2 = 2.
4. x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).

Пример 2. Старший коэффициент не равен единице

Разложим 2x² + x − 3.

1. a = 2, b = 1, c = −3.
2. D = 1² − 4 × 2 × (−3) = 1 + 24 = 25.
3. x₁ = (−1 + 5)/4 = 1, x₂ = (−1 − 5)/4 = −3/2.
4. По формуле через корни: 2(x − 1)(x + 3/2).
5. Эквивалентная форма без дроби: (x − 1)(2x + 3).

Обе последние записи правильны и после раскрытия скобок дают исходный трёхчлен.

Пример 3. Полный квадрат

Разложим x² + 6x + 9.

1. D = 6² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0.
2. x₀ = −6/2 = −3.
3. x² + 6x + 9 = (x + 3)².

Пример 4. Разность квадратов

В выражении x² − 16 коэффициент при x равен нулю. По формуле разности квадратов:

x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4).

Метод через дискриминант дает тот же результат: D = 64, корни равны 4 и −4.

Пример 5. Иррациональные корни

Для x² − 2 дискриминант равен 8, а корни — √2 и −√2. Поэтому:

x² − 2 = (x − √2)(x + √2).

Пример 6. Отрицательный дискриминант

Для x² + 2x + 5:

D = 2² − 4 × 1 × 5 = −16.

Действительных корней нет, поэтому над ℝ выражение на линейные множители не раскладывается. Комплексные корни равны −1 + 2i и −1 − 2i, следовательно:

x² + 2x + 5 = (x + 1 − 2i)(x + 1 + 2i).

Разложение по теореме Виета

Для приведенного квадратного трёхчлена x² + px + q теорема Виета утверждает:

x₁ + x₂ = −p
x₁x₂ = q

Нужно подобрать два числа, сумма которых равна коэффициенту при x с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. Например, для x² − 7x + 12 подходят числа 3 и 4, потому что 3 + 4 = 7 и 3 × 4 = 12. Поэтому:

x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).

Теорема Виета особенно удобна, когда корни целые и их легко подобрать. Если коэффициенты сложные, надежнее использовать дискриминант.

Разложение методом группировки

Если a ≠ 1, иногда удобно разложить средний член на два слагаемых. Нужно найти числа m и n, для которых:

m + n = b и mn = ac.

Например:

6x² + 11x + 3.

Ищем числа с суммой 11 и произведением 6 × 3 = 18. Это 9 и 2:

6x² + 9x + 2x + 3 = 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) = (3x + 1)(2x + 3).

Формулы сокращенного умножения

Некоторые трёхчлены можно узнать без вычисления дискриминанта:

• Квадрат суммы: a² + 2ab + b² = (a + b)²;
• Квадрат разности: a² − 2ab + b² = (a − b)²;
• Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b).

Например, 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², поскольку крайние слагаемые являются квадратами, а среднее равно удвоенному произведению 2x и 3 со знаком минус.

Зачем выносить общий множитель?

Перед применением других способов полезно проверить, есть ли у всех слагаемых общий числовой или буквенный множитель:

6x² − 12x + 6 = 6(x² − 2x + 1) = 6(x − 1)².

Вынос общего множителя делает оставшееся выражение проще и помогает получить более аккуратный окончательный ответ.

Как проверить разложение?

Есть два основных способа проверки:

1. Раскрыть скобки. После умножения множителей должно получиться исходное выражение.
2. Проверить корни. Подстановка каждого найденного корня в исходный трёхчлен должна давать ноль.

Для формы a(x − x₁)(x − x₂) также можно проверить соотношения Виета:

x₁ + x₂ = −b/a и x₁x₂ = c/a.

Типичные ошибки

• Потеря знака коэффициента. В выражении x² − 5x + 6 значение b равно −5, а не 5.
• Забытый коэффициент a. Общая формула содержит множитель a перед скобками.
• Ошибка в формуле дискриминанта. Правильно: b² − 4ac.
• Неверный знак в скобке. Корню −3 соответствует множитель x + 3.
• Попытка извлечь действительный корень из отрицательного числа. При D < 0 действительных корней нет.
• Неправильный ввод пропущенного коэффициента. Если члена с x нет, в поле b нужно ввести ноль.

Как пользоваться онлайн-калькулятором?

1. Определите коэффициенты a, b и c.
2. Введите их в соответствующие поля вместе со знаками.
3. Нажмите кнопку «Разложить на множители».
4. Посмотрите дискриминант, корни, готовое разложение и последовательность вычислений.

В десятичных числах можно использовать точку или запятую. Если a = 0, выражение уже не является квадратным трёхчленом; калькулятор обработает его как линейное выражение.

Частые вопросы

Всегда ли квадратный трёхчлен можно разложить на множители?

Над действительными числами — нет. Разложение на линейные действительные множители возможно, если дискриминант неотрицателен. Над комплексными числами любой квадратный многочлен с ненулевым старшим коэффициентом имеет два корня с учетом кратности.

Что делать, если дискриминант равен нулю?

Трёхчлен имеет один двукратный корень и записывается в виде a(x − x₀)². Такой трёхчлен часто называют полным квадратом.

Можно ли разложить трёхчлен с дробными коэффициентами?

Да. Алгоритм не меняется: вычислите дискриминант, найдите корни и примените формулу a(x − x₁)(x − x₂).

Чем разложение на множители отличается от решения уравнения?

При решении уравнения ищут значения x, при которых выражение равно нулю. При разложении преобразуют сам многочлен в произведение. Эти действия связаны: корни уравнения определяют линейные множители.

Почему при отрицательном корне в скобке стоит плюс?

Множитель строится как x − x₁. Если x₁ = −k, получаем x − (−k) = x + k.

Что вводить, если свободного члена нет?

Введите c = 0. Например, 2x² − 6x = 2x(x − 3).

По теме: тренажёр разложения на множители, тренажёр формул сокращённого умножения.