Инверсия (Логическое НЕ): таблица истинности и свойства

В информатике, булевой алгебре и дискретной математике инверсия (или отрицание) — это унарная логическая операция, которая меняет значение высказывания на противоположное. В повседневной речи она лучше всего описывается частицей «НЕ» или оборотом «неверно, что».

В отличие от конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ), инверсия применяется не к двум, а только к одному аргументу (переменной).

Главное правило инверсии: если исходное значение истинно (1), то инверсия делает его ложным (0), и наоборот.

Обозначения инверсии

В различных дисциплинах и языках программирования логическое отрицание обозначают по-разному. Если у нас есть высказывание $A$, его инверсия может записываться как:

$\neg A$ (в математической логике, символ $\neg$ читается как «не»);
$\overline{A}$ (черта над переменной, часто используется в электротехнике и схемотехнике);
!A (в большинстве языков программирования, основанных на С: C++, Java, JavaScript, C#, PHP);
not A (в языках программирования Python, Pascal, SQL).

Пример из реальной жизни

Представьте, что у нас есть простое высказывание: $A$: «На улице идет дождь».

Применим к нему инверсию ($\neg A$): $\neg A$: «На улице НЕ идет дождь» (или «Неверно, что на улице идет дождь»).

Если сейчас действительно идет дождь ($A=1$), то утверждение «На улице не идет дождь» — ложно ($\neg A = 0$).
Если сейчас светит солнце ($A=0$), то утверждение «На улице не идет дождь» — истинно ($\neg A = 1$).

Таблица истинности для инверсии

Поскольку инверсия имеет только один вход, ее таблица истинности самая короткая в булевой алгебре. Истина обозначается как 1 (True), а ложь — как 0 (False).

$A$	$\neg A$
0	1
1	0

В схемотехнике элемент, выполняющий эту функцию, называется инвертором. Его задача — превратить отсутствие сигнала (0) в наличие сигнала (1) и наоборот.

Основные законы и свойства инверсии

Несмотря на простоту, инверсия участвует в важнейших законах булевой алгебры:

1. Закон двойного отрицания (инволюция): Отрицание отрицания дает исходное высказывание. Два минуса дают плюс.

$$\neg (\neg A) = A$$

Пример: «Неверно, что я не хочу есть» означает «Я хочу есть».

2. Закон исключенного третьего: Дизъюнкция (ИЛИ) высказывания и его отрицания всегда дает истину. Что-то одно из двух точно верно (или идет дождь, или не идет, третьего не дано).

$$A \lor \neg A = 1$$

3. Закон непротиворечия: Конъюнкция (И) высказывания и его отрицания всегда дает ложь. Высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным (не может одновременно идти и не идти дождь).

$$A \land \neg A = 0$$

4. Правила де Моргана: Инверсия связывает между собой операции логического сложения (ИЛИ) и логического умножения (И).

Отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний:$$\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B$$
Отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний:$$\neg (A \land B) = \neg A \lor \neg B$$

Воспользуйтесь нашим интерактивным тренажером, чтобы лучше понять, как работает логическое отрицание в сочетании с другими операциями!