Дизъюнкция (Логическое ИЛИ): таблица истинности и свойства
В информатике, булевой алгебре и дискретной математике дизъюнкция — это базовая логическая операция, которая объединяет два или более высказываний. В повседневной речи она лучше всего описывается союзом «ИЛИ».
Операцию дизъюнкции также часто называют логическим сложением.
Главное правило дизъюнкции: результат ложен (0) тогда и только тогда, когда ложны ВСЕ входящие в него высказывания. Во всех остальных случаях (если хотя бы одно высказывание истинно), результат будет истинным (1).
Обозначения дизъюнкции
В различных дисциплинах и языках программирования дизъюнкцию обозначают по-разному. Если у нас есть два высказывания $A$ и $B$, их дизъюнкция может записываться как:
- $A \lor B$ (в математической логике, символ $\lor$ происходит от латинского слова vel — «или»);
- $A + B$ (в электротехнике и схемотехнике — отсюда термин «логическое сложение»);
A || B(в большинстве языков программирования: C++, Java, JavaScript, C#);A or B(в языках программирования Python, Pascal).
Пример из реальной жизни
Представьте, что мама говорит ребенку: «Ты получишь десерт, если съешь суп ($A$) ИЛИ съешь кашу ($B$)».
- Если ребенок съел только суп ($A=1, B=0$) $\rightarrow$ он получит десерт (Итог = 1).
- Если ребенок съел только кашу ($A=0, B=1$) $\rightarrow$ он получит десерт (Итог = 1).
- Если ребенок съел и суп, и кашу ($A=1, B=1$) $\rightarrow$ он точно получит десерт (Итог = 1).
- Если ребенок отказался от всего ($A=0, B=0$) $\rightarrow$ десерта не будет (Итог = 0).
Таблица истинности для дизъюнкции
Таблица истинности наглядно показывает все возможные комбинации входных значений и результат операции. Истина обозначается как 1 (True), а ложь — как 0 (False).
Для двух переменных ($A \lor B$)
| $A$ | $B$ | $A \lor B$ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Для трех переменных ($A \lor B \lor C$)
Правило сохраняется: если хотя бы в одном столбце есть единица, итоговый результат равен единице.
| $A$ | $B$ | $C$ | $A \lor B \lor C$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
(Вы можете сгенерировать таблицу для 4 и 5 переменных с помощью нашего онлайн-калькулятора!)
Основные законы и свойства дизъюнкции
Как и обычное математическое сложение, логическое сложение подчиняется ряду строгих законов булевой алгебры:
1. Коммутативность (переместительный закон): От перемены мест операндов результат не меняется.
$$A \lor B = B \lor A$$
2. Ассоциативность (сочетательный закон): Порядок выполнения операций дизъюнкции не имеет значения.
$$(A \lor B) \lor C = A \lor (B \lor C)$$
3. Идемпотентность: Дизъюнкция переменной с самой собой равна самой переменной. (В логике нет понятия «2A»).
$$A \lor A = A$$
4. Законы операций с константами (0 и 1):
- Прибавление лжи ничего не меняет: $A \lor 0 = A$
- Прибавление истины всегда дает истину: $A \lor 1 = 1$
5. Закон исключенного третьего: Высказывание ИЛИ его отрицание ($\neg A$) всегда дают истину (что-то одно точно верно).
$$A \lor \neg A = 1$$
6. Правила де Моргана: Отрицание дизъюнкции равно конъюнкции (логическому И) отрицаний.
$$\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B$$
Воспользуйтесь нашим интерактивным калькулятором, чтобы лучше закрепить работу логического ИЛИ и автоматически построить таблицы истинности для сложных выражений!