Тренажёр степеней онлайн: правила, свойства и примеры

Степени позволяют кратко записывать произведение одинаковых множителей. Вместо записи 5 × 5 × 5 используют выражение 5³. Онлайн-тренажёр помогает научиться вычислять степени, находить неизвестное основание или показатель и применять основные свойства степеней при преобразовании выражений.

Тема относится к разделу алгебры. Натуральные степени впервые рассматриваются в арифметике, а нулевые и отрицательные показатели, свойства и преобразования степенных выражений подробно изучаются в алгебре.

Что такое степень числа

Степенью числа a с натуральным показателем n называют произведение n одинаковых множителей:

aⁿ = a × a × … × a

Число a называется основанием степени, а число n — показателем степени. Показатель сообщает, сколько раз основание используется как множитель.

Пример: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Здесь 3 — основание, 4 — показатель, 81 — значение степени.

Вторая и третья степени

Вторая степень называется квадратом числа, а третья — кубом:

• 7² читается «семь в квадрате» и равно 49;
• 4³ читается «четыре в кубе» и равно 64.

Степень с показателем 1 и 0

Любое число в первой степени равно самому себе: a¹ = a.

Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1, если a не равно 0.

Например, 12⁰ = 1 и (−8)⁰ = 1. Выражение 0⁰ в школьных вычислениях обычно считают неопределённым.

Отрицательное основание

Если отрицательное число возводится в степень, знак результата зависит от чётности показателя:

• при чётном показателе результат положительный: (−3)⁴ = 81;
• при нечётном показателе результат отрицательный: (−3)³ = −27.

Скобки имеют принципиальное значение. Запись (−2)² равна 4, но −2² означает отрицание квадрата числа 2 и равна −4.

Отрицательный показатель степени

Отрицательная степень ненулевого числа равна единице, делённой на степень с противоположным положительным показателем:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Пример: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8 = 0,125.

Нулевое основание нельзя возводить в отрицательную степень, поскольку тогда возникло бы деление на ноль.

Основные свойства степеней

Произведение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении показатели складываются:

a^m × aⁿ = a^m+n

Пример: 5² × 5³ = 5⁵ = 3125.

Частное степеней с одинаковыми основаниями

При делении показатели вычитаются:

a^m / aⁿ = a^m−n, если a не равно 0.

Пример: 7⁶ / 7² = 7⁴.

Возведение степени в степень

Показатели перемножаются:

(a^m)ⁿ = a^mn

Пример: (3²)⁴ = 3⁸.

Степень произведения

Чтобы возвести произведение в степень, можно возвести в неё каждый множитель:

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Пример: (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 1000.

Степень частного

Числитель и знаменатель возводятся в степень отдельно:

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ, если b не равно 0.

Как найти неизвестное основание

В простых заданиях основание можно найти обратным действием или подбором. Например, если x³ = 125 и x > 0, то x = 5, поскольку 5 × 5 × 5 = 125. Обратная операция к возведению в степень называется извлечением корня.

Уравнение x² = 25 имеет два действительных решения: x = 5 и x = −5. Поэтому в заданиях тренажёра на положительное основание отдельно указывается условие x > 0.

Как найти неизвестный показатель

Если числа небольшие, значение представляют как степень известного основания. Например, из равенства 2^x = 32 следует x = 5, потому что 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

В более сложных задачах неизвестный показатель находят с помощью логарифмов, однако в школьном тренажёре используются значения, которые удобно определить устно.

Порядок действий в выражениях со степенями

Сначала выполняются действия в скобках, затем возведение в степень, после него умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.

Пример: 2 + 3² × 4 = 2 + 9 × 4 = 38.

Как пользоваться тренажёром

1. Выберите лёгкий, средний или сложный уровень.
2. Укажите количество примеров и время на один ответ.
3. Отметьте темы, которые хотите отработать.
4. Введите ответ. Для отрицательной степени можно использовать обычную дробь, например 1/8, или десятичную запись 0,125.
5. Изучите правило, которое появляется после проверки.
6. После завершения повторите примеры с ошибками.

Уровни сложности

• Лёгкий уровень содержит небольшие основания и показатели, удобные для устного вычисления.
• Средний уровень включает более крупные значения и все основные свойства степеней.
• Сложный уровень увеличивает основания и показатели и требует внимательного применения правил.

Типичные ошибки

• Умножение показателей при умножении степеней. Для одинаковых оснований показатели нужно складывать.
• Сложение показателей при возведении степени в степень. В этом случае показатели перемножают.
• Потеря скобок у отрицательного основания. Выражения (−3)² и −3² имеют разные значения.
• Отрицательный ответ для отрицательной степени. Минус в показателе означает переход к обратному числу, а не обязательный минус перед результатом.
• Неверное значение нулевой степени. Ненулевое основание в степени 0 всегда даёт 1.
• Применение свойства к разным основаниям. Нельзя превращать 2³ × 5⁴ в одну степень простым сложением показателей.

Полезные значения для устного счёта

• 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32;
• 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81;
• 4² = 16, 4³ = 64;
• 5² = 25, 5³ = 125;
• 10² = 100, 10³ = 1000.

Часто задаваемые вопросы

Чему равно число в нулевой степени?

Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Как вычислить отрицательную степень?

Нужно заменить число обратным и сделать показатель положительным: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ.

Когда показатели складываются?

Показатели складываются при умножении степеней с одинаковыми основаниями.

Когда показатели перемножаются?

Показатели перемножаются при возведении степени в другую степень.

Почему (−2) в квадрате равно 4?

Произведение двух отрицательных множителей положительно: (−2) × (−2) = 4.

К какому разделу математики относятся степени?

Основные вычисления изучаются в арифметике, а свойства и преобразования степеней относятся преимущественно к алгебре.

По теме: тренажёр квадратных корней, возведение в степень, возведение дроби в степень, экспоненциальный калькулятор.