Двойной факториал: формула, примеры и онлайн-калькулятор

Двойной факториал — это математическая функция, которая часто встречается в комбинаторике, теории вероятностей и математическом анализе (например, в интегралах Валлиса или рядах Тейлора).

Несмотря на свое название и обозначение двойным восклицательным знаком ($n!!$), это не означает, что нужно вычислять факториал от факториала (то есть $(n!)! \neq n!!$). Двойной факториал работает по совершенно другой, более мягкой логике, перемножая числа «через одно».

Наш бесплатный онлайн-калькулятор поможет вам мгновенно вычислить двойной факториал даже для гигантских чисел, выдавая абсолютно точный ответ без округлений.

Формула двойного факториала

Правило вычисления зависит от того, какое перед нами число: четное или нечетное. Суть двойного факториала заключается в произведении всех натуральных чисел от $1$ (или $2$) до $n$, имеющих ту же четность, что и само число $n$.

1. Если число $n$ — нечетное

Мы перемножаем все нечетные числа от $1$ до $n$.

$$n!! = n \cdot (n — 2) \cdot (n — 4) \cdot \dots \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1$$

2. Если число $n$ — четное

Мы перемножаем все четные числа от $2$ до $n$.

$$n!! = n \cdot (n — 2) \cdot (n — 4) \cdot \dots \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2$$

Особые случаи (нужно запомнить!)

Как и в случае с обычным факториалом (где $0! = 1$), в двойном факториале есть строгие математические соглашения для особых чисел:

$0!! = 1$ (двойной факториал нуля равен единице).
$(-1)!! = 1$ (двойной факториал минус единицы также равен единице).

Для любых других отрицательных чисел (меньше $-1$) классический двойной факториал не определен.

Примеры вычислений

Давайте посмотрим, как работает формула на практике.

Пример 1: Двойной факториал нечетного числа ($7!!$) Так как число $7$ нечетное, мы перемножаем все нечетные числа от 1 до 7:

$$7!! = 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 105$$

Ответ: $7!! = 105$.

Пример 2: Двойной факториал четного числа ($8!!$) Число $8$ четное, поэтому мы перемножаем все четные числа от 2 до 8:

$$8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384$$

Ответ: $8!! = 384$.

Чем $n!!$ отличается от $(n!)!$

Это самая частая ошибка среди студентов. Давайте сравним результаты для числа $3$:

Двойной факториал ($3!!$): По правилу нечетных чисел: $3!! = 3 \cdot 1 = 3$.
Факториал от факториала ($(3!)!$): Сначала считаем внутренний факториал: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Затем считаем факториал от полученного результата: $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.

Как видите, разница колоссальная ($3$ против $720$). Двойной факториал растет гораздо медленнее обычного, так как в нем участвует в два раза меньше множителей.

Тем не менее, при больших значениях $n$ результат всё равно быстро выходит за рамки обычных калькуляторов. Воспользуйтесь нашим интерактивным инструментом выше, чтобы получить точный результат для любого числа, а затем скопируйте его в один клик!