Арккотангенс: формула, свойства, таблица значений и онлайн-калькулятор

Арккотангенс — обратная тригонометрическая функция, позволяющая найти угол по известному котангенсу. Если cot α = x, то главное значение угла записывают как α = arccot x. Онлайн-калькулятор принимает любое действительное число, показывает ответ в градусах и радианах и приводит пошаговое решение.

Что такое арккотангенс

Арккотангенсом числа x называют такой угол α от 0 до π, котангенс которого равен x:

arccot x = α, если cot α = x и 0 < α < π

В градусах главное значение находится строго между 0° и 180°. В русской школьной математике обычно используют обозначение arcctg x или arccot x. Также можно встретить acot x и cot⁻¹x. Последнюю запись нельзя путать с дробью 1/cot x, которая равна тангенсу.

Область определения и область значений

• Область определения: все действительные числа x.
• Область значений: 0 < arccot x < π, то есть 0° < arccot x < 180°.

Границы интервала не включаются. Для любого конечного x значение арккотангенса не равно точно 0° или 180°, хотя может быть сколь угодно близко к одной из этих границ.

Таблица стандартных значений арккотангенса

Как найти арккотангенс числа

1. Определите значение котангенса x.
2. Убедитесь, что используется главное значение из интервала (0; π).
3. Для стандартного x найдите угол по таблице.
4. Для произвольного числа используйте калькулятор.
5. Проверьте ответ, вычислив котангенс найденного угла.

Формулы для вычисления

Для действительного x арккотангенс удобно вычислять через функцию двух аргументов:

arccot x = atan2(1, x)

Если используется обычный арктангенс, нужно учитывать знак x:

• при x > 0: arccot x = arctan(1/x);
• при x = 0: arccot 0 = π/2;
• при x < 0: arccot x = arctan(1/x) + π.

Разделение на случаи необходимо, чтобы результат всегда попадал в интервал от 0 до π.

Примеры вычисления

Арккотангенс 1

Поскольку cot 45° = 1, получаем arccot 1 = 45° = π/4.

Арккотангенс 0

cot 90° = 0, поэтому arccot 0 = 90° = π/2.

Арккотангенс −1

В интервале от 0° до 180° котангенс равен −1 при угле 135°. Следовательно, arccot(−1) = 135° = 3π/4.

Арккотангенс √3

cot 30° = √3, поэтому arccot √3 = 30° = π/6.

Арккотангенс 10

arccot 10 ≈ 5,710593° ≈ 0,099669 рад. Чем больше положительный аргумент, тем ближе результат к 0°.

Почему арккотангенс возвращает только один угол

Котангенс имеет период 180° или π радиан. Поэтому одному значению котангенса соответствует бесконечное число углов. Например, cot 45° = cot 225° = cot(−135°) = 1. Чтобы обратная функция была однозначной, для arccot выбирают только один угол из интервала (0; π).

Общее решение уравнения cot α = x

Арккотангенс даёт главное значение, а все решения получают добавлением целого числа периодов:

α = arccot x + πk

В градусах:

α = arccot x + 180°k

Здесь k — любое целое число.

Связь арккотангенса и арктангенса

При принятом диапазоне значений выполняется важное равенство:

arccot x = π/2 − arctan x

В градусах: arccot x = 90° − arctan x. Отсюда следует arccot x + arctan x = π/2 для любого действительного x.

Основные свойства

• cot(arccot x) = x для любого действительного x;
• arccot(cot α) = α непосредственно при 0 < α < π;
• arccot(−x) = π − arccot x;
• арккотангенс строго убывает на всей числовой прямой;
• arccot x + arctan x = π/2;
• arccot 0 = π/2.

График y = arccot x

График арккотангенса убывает на всей числовой прямой и проходит через точку (0; π/2). При x → +∞ значение стремится к 0, а при x → −∞ — к π. Прямые y = 0 и y = π являются горизонтальными асимптотами.

Производная и интеграл

Производная арккотангенса:

(arccot x)' = −1 / (1 + x²)

Одна из форм первообразной:

∫ arccot x dx = x arccot x + 1/2 ln(1 + x²) + C

Разные определения в калькуляторах и программах

Единого соглашения о диапазоне arccot во всех источниках нет. В школьной математике стран СНГ обычно выбирают (0; π). Некоторые программные библиотеки определяют функцию через arctan(1/x) и получают значения в диапазоне около (−π/2; π/2). Из-за этого для отрицательного x ответы могут отличаться на π. В этом калькуляторе используется школьное определение 0 < arccot x < π.

Где применяется арккотангенс

• решение тригонометрических уравнений;
• нахождение углов прямоугольного треугольника;
• аналитическая геометрия и работа с наклоном прямой;
• физика, электротехника и обработка сигналов;
• геодезия, навигация и инженерные расчёты.

Частые ошибки

• Арккотангенс путают с обратной величиной. arccot x — угол, а не 1/cot x.
• Для отрицательного x выбирают отрицательный угол. В школьном определении главное значение должно лежать между 0° и 180°.
• Путают градусы и радианы. Например, π/2 радиан соответствует 90°.
• Главное значение принимают за общее решение. Для всех корней нужно добавить πk.
• Не уточняют соглашение о диапазоне. В разных программах определение может отличаться.

Как пользоваться калькулятором арккотангенса

1. Введите известное значение котангенса. Разрешены отрицательные числа и десятичная запятая.
2. Выберите основную единицу ответа: градусы или радианы.
3. Задайте количество знаков после запятой.
4. Нажмите «Найти арккотангенс».
5. Посмотрите точное или приближённое значение, положение угла и пошаговую проверку.

Ответы на частые вопросы

Чему равен arccot 0?

arccot 0 = 90° = π/2.

Чему равен arccot 1?

arccot 1 = 45° = π/4.

Чему равен arccot −1?

При школьном определении arccot(−1) = 135° = 3π/4.

Для каких чисел существует арккотангенс?

Арккотангенс определён для любого действительного числа.

Может ли arccot равняться 0° или 180°?

Нет. Для конечного аргумента значение может лишь приближаться к этим границам.

По теме: тренажёр тригонометрии.